Question

【題目】已知函數．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）求函數的零點個數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）故a＜0或a=e時，F（x）在y軸兩側各有1個零點，共2個零點，當a=0時，a（x+1）恒為0，F（x）有無數個零點．

【解析】

(1)對函數求導得到f′（x）=（x+1）（ex+a），分情況討論導函數的正負，進而得到函數的單調性；（2）主要分析函數第一段的零點情況，令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0，可得到函數g(x)單調增，通過討論g（0）=﹣a和0的關系得到零點個數.

（1）f′（x）=（x+1）（ex+a），

a≥0時，x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＜0，

x∈（﹣1，+∞）時，f′（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）遞減，在（﹣1，+∞）遞增，

a＜0時，由f′（x）=0，解得：x=﹣1或x=ln（﹣a），

若a=﹣，則ln（﹣a）=﹣1，f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在R遞增，

若﹣＜a＜0，則ln（﹣a）＜﹣1，

故x∈（﹣∞，ln（﹣a））∪（﹣1，+∞）時，f′（x）＞0，

當x∈（ln（﹣a），﹣1）時，f′（x）＜0，

故f（x）在（ln（﹣a），﹣1）遞減，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）遞增；

若a＜﹣，則ln（﹣a）＞﹣1，

當x∈（﹣∞，﹣1）∪（ln（﹣a），+∞）時，f′（x）＞0，

當x∈（﹣1，ln（﹣a）時，f′（x）＜0，

故f（x）在（﹣1，ln（﹣a））遞減，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）遞增，

綜上，當a≥0時，f（x）在（﹣∞，﹣1）遞減，在（﹣1，+∞）遞增，

當﹣＜a＜0時，f（x）在（ln（﹣a），﹣1）遞減，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）遞增，

當a=﹣時，f（x）在R遞增，

當a＜﹣時，f（x）在（﹣1，ln（﹣a））遞減，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）遞增；

（2）由已知得F（x）=，

令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0，

故g（x）在（0，+∞）遞增，

則g（x）＞g（0）=﹣a，

故a＜0或a=e時，F（x）在y軸兩側各有1個零點，共2個零點，

當a=0時，a（x+1）恒為0，F（x）有無數個零點．