Question

如圖，三棱錐中，底面，，，點、分別是、的中點.

（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)   

：方法（一）
(Ⅰ)由已知可得為等腰直角三角形，則．
由平面，平面，則．
又，，
則平面，由平面，得．
由中位線定理得，，于是，
又，所以平面．         
(Ⅱ)已證明平面，又平面，則．
已證明，又，則平面．
因為平面，平面，所以，．
由二面角的定義，得為二面角的平面角．
設，可求得，，
在中，可求得，在中，可求得，
在中，由余弦定理得，．則為所求．
方法（二）

如圖建立空間直角坐標系，設，
可求出以下各點的坐標：
A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）
(Ⅰ)，，
有，，
于是，，又，
則平面．       
(Ⅱ)，有，，
于是，，由二面角定義，向量與的夾角為所求．
，所以為所求．