Question

【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線和上.經(jīng)測(cè)量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形區(qū)域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn).設(shè)（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).

（1）試將公路的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】⑴，其中，⑵當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為千米..

【解析】試題分析：

⑴由切線的性質(zhì)可得OS⊥MN.則SM=，SN=， 據(jù)此可得，其中.

⑵ 利用換元法，令，則， 由均值不等式的結(jié)論有：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即長(zhǎng)度的最小值為千米.

試題解析：

⑴因?yàn)?/span>MN與扇形弧PQ相切于點(diǎn)S，所以OS⊥MN.

在OSM中，因?yàn)?/span>OS=1，∠MOS=，所以SM=，

在OSN中，∠NOS=，所以SN=，

所以，

其中.

⑵ 因?yàn)?/span>，所以，

令，則，

所以，

由基本不等式得，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”.

此時(shí)，由于，故.

答：⑴，其中.

⑵當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為千米.