Question

【題目】對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，滿足對(duì)任意的，，有恒成立，厄稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的，現(xiàn)有函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（）上是“友好”的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）先化簡(jiǎn)不等式恒成立為對(duì)應(yīng)最值問(wèn)題：再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最值，代入分離化簡(jiǎn)得，最后利用基本不等式求最值，得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）化簡(jiǎn)方程為一元二次方程，并分解因式得，討論根的情況并代入定義域進(jìn)行驗(yàn)證，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由題意可得在上單調(diào)遞減，

故，

∴

即，∴

令（），則，則

當(dāng)或時(shí)，，∴.

又對(duì)于任意的，，故

綜上，的取值范圍是

（2），即，且①

∴，即②

當(dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①，成立

當(dāng)時(shí)，方程②的解為，代入①，不成立.

當(dāng)且時(shí)，方程②的解為或

將代入①，則且，

∴且，

將代入①，則，且

所以且

則要使方程有且僅有一個(gè)解，則，

綜上，若方程的解集中有且僅有一個(gè)元素，則的取值范圍為.