Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， 若Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14（m≥2，且m∈N*）．
（1）求m的值；
（2）若數列{bn}滿足 =logabn（n∈N*），求數列{（an+6）bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14，

∴am=Sm﹣Sm﹣1=4，am+1+am+2=Sm+2﹣Sm=14．

設{an}的公差為d，則2am+3d=14，∴d=2．

∵Sm= =0，∴a1=﹣am=﹣4．

∴am=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4，

∴m=5．

（2）解：由（1）可得an=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6．

∵ =logabn，即n﹣3=logabn，

∴bn=an﹣3，

∴（an+6）bn=2nan﹣3，

設數列{（an+6）bn}的前n項和為Tn，

則Tn=2a﹣2+4a﹣1+6a0+8a+…+2nan﹣3，①

∴aTn=2a﹣1+4a0+6a+8a2+…+2nan﹣2，②

①﹣②得：

（1﹣a）Tn=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2an﹣3﹣2nan﹣2，

= ﹣2nan﹣2

= ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ．

【解析】（1）計算am ， am+1+am+2 ， 利用等差數列的性質計算公差d，再代入求和公式計算m；（2）求出an ， bn ， 得出數列{（an+6）bn}的通項公式，利用錯位相減法計算．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對等差數列的性質的理解，了解在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．