Question

【題目】如圖，棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N，E分別是棱A1B1 ， A1D1 ， C1D1的中點．

（1）過AM作一平面，使其與平面END平行（只寫作法，不需要證明）；
（2）在如圖的空間直角坐標系中，求直線AM與平面BMND所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結AC、MC，平面AMC是所求平面

（2）解：如圖空間直角坐標系O﹣xyz

則A（0，0，0），M（ a，0，a），B（a，0，0），D（0，a，0），N（0， a，a）

=（﹣ a，0，a）， =（﹣a，a，0）， =（ a，0，a）

設平面BMND得法向量n=（x，y，z）

則 n=（2，2，1）cos＜ ，n＞= = 設直線AM與平面BMND所成角為θ

則，sinθ=|cos＜ ，n＞|=

直線AM與平面BMND所成角的正弦值為

【解析】【（1）連結AC、MC，平面AMC是所求平面；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，即可求直線AM與平面BMND所成角的正弦值．
【考點精析】利用平面與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．