Question

已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)?（1）求證：f(x)是周期函數；（2）若f(x)為奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的個數.

Answer 1

(Ⅰ)見解析  (Ⅱ) 502

（1）證明： ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數.
（2）解： 當0≤x≤1時，f(x)=x,設-1≤x≤0,則0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f(x)是奇函數，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=-x，即f(x)= x.
故f(x)= x(-1≤x≤1) 又設1＜x＜3,則-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)=(x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）. 
∴f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.
∵f（x）是以4為周期的周期函數.故f(x)=-的所有x="4n-1" (n∈Z).
令0≤4n-1≤2 009,則≤n≤,又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
∴在［0，2 009］上共有502個x使f(x)=-.