Question

【題目】已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在定點，見解析

【解析】

（1）設動點，則，利用，求出曲線的方程．

（2）由已知直線過點，設的方程為，則聯立方程組，

消去得，設，，，利用韋達定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結果．

解：（1）設動點，則，

，

，即，

化簡得：。

由已知，故曲線的方程為。

（2）由已知直線過點，設的方程為，

則聯立方程組，消去得，

設，，則

又直線與斜率分別為，

，

則。

當時，，；

當時，，。

所以存在定點，使得直線與斜率之積為定值。