【題目】已知菱形
的對角線
，
交于點
，
，
，將
沿折起，使點
到達點
位置，滿足
為等邊三角形.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
（1）根據(jù)菱形對角線互相垂直，可知翻折后
，
，根據(jù)線面垂直判定定理可得
平面
，利用線面垂直性質(zhì)定理證得結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直判定定理可證得
面
，則以
為原點可建立起空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
（1）證明：由已知，翻折后，，
平面，又
平面
（2）在菱形
中，
，
，
取
中點
，連結(jié)
，則
又面 
.
又
面，
以為原點，
為
軸，為
軸，過點做
的平行線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則
，
，
，
，
設(shè)平面
的法向量為
則
，令
，則
，
平面的一個法向量為
.
又平面的一個法向量
∴
又二面角
為銳角
二面角
的余弦值為
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】近年，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取
名學(xué)生進行調(diào)查.
（1）已知抽取的名學(xué)生中含男生55人，求的值；
（2）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的
列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；
（3）在抽取到的女生中按（2）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為
，求的分布列及期望.
附：
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知定義域為
的函數(shù)
（常數(shù)
）.
（1）若
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
恒成立，求實數(shù)
的最大整數(shù)值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知斜率為1的直線
與橢圓
交于
，
兩點，且線段
的中點為
，橢圓
的上頂點為
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線
與橢圓交于
兩點，若直線
與
的斜率之和為2，證明：
過定點.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系
中，橢圓
經(jīng)過點
，離心率為
. 已知過點
的直線
與橢圓
交于
兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問
軸上是否存在定點
，使得
為定值．若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知過拋物線
的焦點，斜率為
的直線交拋物線于
兩點，且
.
(1)求該拋物線的方程；
(2) 
為坐標(biāo)原點，
為拋物線上一點，若
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】己知函數(shù)
是函數(shù)值不恒為零的奇函數(shù)，函數(shù)
．
（1）求實數(shù)
的值，并判斷函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）解關(guān)于
的不等式
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過1%．已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：
（
為正常數(shù)，
為原污染物數(shù)量）.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了90%，那么要能夠按規(guī)定排放廢氣，至少還需要過濾（ ）
A. 
小時B. 
小時C. 5小時D. 
小時
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“2019年”是一個重要的時間節(jié)點——中華人民共和國成立70周年，和全面建成小康社會的 關(guān)鍵之年.70年披荊斬棘，70年砥礪奮進，70年風(fēng)雨兼程，70年滄桑巨變，勤勞勇敢的中國 人用自己的雙手創(chuàng)造了一項項輝煌的成績，取得了舉世矚目的成就.趁此良機，李明在天貓網(wǎng)店銷售“新中國成立70周年紀(jì)念冊”，每本紀(jì)念冊進價4元，物流費、管理費共為
元/本，預(yù)計當(dāng)每本紀(jì)念冊的售價為
元（
時，月銷售量為
千本.
（I）求月利潤
（千元）與每本紀(jì)念冊的售價X的函數(shù)關(guān)系式，并注明定義域：
（II）當(dāng)為何值時，月利潤最大？并求出最大月利潤.
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