Question

【題目】已知定義域為的函數（常數）.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若恒成立，求實數的最大整數值.

Answer 1

【答案】（1）在上為減函數，在上為增函數.（2）見解析.

【解析】試題分析：

（1）當時，（），∴，據此可得在上為減函數，在上為增函數.

（2）原問題等價于對于恒成立，，分類討論：①當時，由函數的單調性可得；②當時，，則，構造函數，結合導函數的解析式可得在上存在唯一使得，且，即最大整數值為2.

試題解析：

（1）當時，（），∴，

令，有，∴在上為增函數，

令，有，∴在上為減函數，

綜上，在上為減函數，在上為增函數.

（2）∵對于恒成立，

即對于恒成立，

由函數的解析式可得：，分類討論：

①當時，在上為增函數，∴ ，

∴恒成立，∴；

②當時，在上為減函數，在上為增函數.

∴，∴，

∴，

設，

∴，

∴在上遞增，而，

，

∴在上存在唯一使得，且，

∵，∴最大整數值為2，使，即最大整數值為2，

綜上可得：實數的最大整數值為2，此時有對于恒成立.