Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直線AB與平面CBF所成角的大小；
（Ⅲ）當AD的長為何值時，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°？

Answer 1

【答案】（I）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（II）解：根據（Ⅰ）的證明，有AF⊥平面CBF，
∴FB為AB在平面CBF內的射影，因此，∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角
∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形，
過點F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，則 ．
在Rt△AFB中，根據射影定理AF2=AHAB，得AF=1
∴ ，∴∠ABF=30°．
∴直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．
（Ⅲ）解：設EF中點為G，以O為坐標原點，OA、OG、AD方向分別為x軸、y軸、z軸方向建立空間直角坐標系（如圖）．
設AD=t（t＞0），則點D的坐標為（1，0，t），則 C（﹣1，0，t），
∴
設平面DCF的法向量為 ，則 ， ，即
令 ，解得x=0，y=2t，∴
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一個法向量為 ，
依題意 與 的夾角為60°，∴ ，即 ，解得
因此，當AD的長為 時，平面與DFC平面FCB所成的銳二面角的大小為60°．

【解析】（I）利用面面垂直的性質，可得CB⊥平面ABEF，再利用線面垂直的判定，證明AF⊥平面CBF，從而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（II）確定∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角，過點F作FH⊥AB，交AB于H，計算出AF，即可求得直線AB與平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面DCF的法向量 ，平面CBF的一個法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得AD的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．