【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
（
）的左右兩個焦點分別是
、
，
在橢圓
上運動.
（1）若對
有最大值為120°，求出
、
的關系式；
（2）若點是在橢圓上位于第一象限的點，過點作直線
的垂線
，過作直線
的垂線
，若直線、的交點
在橢圓上，求點的坐標；
（3）若設
，在（2）成立的條件下，試求出、兩點間距離的函數
，并求出的值域.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
的值域為
．
【解析】
（1）根據橢圓定義可知
，再利用余弦定理及基本不等式可得
的關系式；
（2）設出
點坐標，分別求出直線
與直線
的方程，結合在橢圓上即可求得點的坐標；
（3）把
的坐標用含有
的代數式表示，由兩點間的距離公式可得兩點間距離的函數，再換元由單調性求出其值域．
（1） 根據橢圓的定義可知，，
，
因為
所以
，即．
（2）設
，
當
時，直線
斜率不存在，易知
與
重合，不滿足題意；
當
時，則直線的斜率
，直線的斜率
，
直線的方程
，①
直線
的斜率
，則直線的斜率
，
直線的方程
，②
聯立①②，解得：
，則
，
由在橢圓上，的橫坐標互為相反數，縱坐標應相等，則
，
，
則
，又在第一象限，
的坐標為
；
（3）若
，則
，
，
則
，
．
令
，則
，
，
在
上為增函數，
的值域為，
即
的值域為．
鴻圖圖書寒假作業假期作業吉林大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染，保衛藍天，鼓勵廣大市民使用電動交通工具出行，決定為電動車（含電動自行車和電動汽車）免費提供電池檢測服務.現從全市已掛牌照的
電動車中隨機抽取100輛委托專業機構免費為它們進行電池性能檢測，電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個等級，并分成電動自行車和電動汽車兩個群體分別進行統計，樣本分布如圖.
（1）采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動車中隨機抽取9輛，再從這9輛中隨機抽取2輛，求至少有一輛為電動汽車的概率；
（2）為進一步提高市民對電動車的使用熱情，市政府準備為電動車車主一次性發放補助，標準如下：①電動自行車每輛補助300元；②電動汽車每輛補助500元；③對電池需要更換的電動車每輛額外補助400元.試求抽取的100輛電動車執行此方案的預算；并利用樣本估計總體，試估計市政府執行此方案的預算.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
，
，
，
，且
的最小值為
，的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為
，
的圖象關于原點對稱.
（1）求函數的解析式和單調遞增區間；
（2）在
中，角
所對的邊分別為
，且
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的左、右焦點分別為
，過
任作一條與兩條坐標軸都不垂直的直線，與橢圓
交于
兩點，且
的周長為8，當直線
的斜率為
時， 
與
軸垂直.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）在
軸上是否存在定點
，總能使
平分
？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在平面四邊形
中，
，現將
沿四邊形的對角線
折起，使點
運動到點
，如圖2，這時平面
平面
.
（1）求直線
與平面所成角的正切值；
（2）求二面角
的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐
中，
底面
為等邊三角形，
分別是
的中點．
（1）證明：平面
平面
；
（2）如何在
上找一點
，使
平面
并說明理由；
（3）若
，對于（2）中的點，求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，已知底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=2，AB=2，AD=4，且E、F分別是PB、PC的中點。
(1)求三棱錐
的體積；
(2)求直線EC與平面PCD所成角的大小(結果用反三角函數值表示).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給定數列
，記該數列前
項
中的最大項為
，即
，該數列后
項
中的最小項為
，記
，
；
（1）對于數列：3，4，7，1，求出相應的
，
，
；
（2）若
是數列的前
項和，且對任意
，有
，其中
為實數，
且
，
.
（ⅰ）設
，證明：數列
是等比數列；
（ⅱ）若數列對應的
滿足
對任意的正整數
恒成立，求實數的取值范圍.
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