Question

【題目】給定數列，記該數列前項中的最大項為，即，該數列后項中的最小項為，記，；

（1）對于數列：3，4，7，1，求出相應的，，；

（2）若是數列的前項和，且對任意，有，其中為實數，且，.

（ⅰ）設，證明：數列是等比數列；

（ⅱ）若數列對應的滿足對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）由定義可分別求得時的取值，從而得到；

（2）（ⅰ）當時，根據，結合已知等式求得，進而得到，且；當時，利用可得到，結合通項可整理得到，從而結論得證；

（ⅱ）由（ⅰ）可結合等比數列通項公式求得；根據的定義和大小關系以及，可確定，從而得到，代入通項公式整理化簡可得，解不等式求得結果即可.

（1）由題意得：，

，

，

（2）（ⅰ）當時，

，

當且時，

數列是以為首項，為公比的等比數列

（ⅱ）由（ⅰ）得：

，

且

對任意的恒成立

則，

即：

，解得：

的取值范圍為