Question

【題目】已知定義在R上函數f（x）是可導的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，則不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（ ）（注：e為自然對數的底數）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（0，1）
C.（0，1）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根據題意，設F（x）=ex（f（x）﹣1），則F'（x）=ex[f（x）+f'（x）﹣1]，

因為ex＞0，由已知可得，F'（x）＜0，即函數F'（x）是單調減函數，F（1）=e，

故f（x）﹣1＜e1﹣x，即F（x）＜F（1），

則有x＞1；

即不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（1，+∞）；

故選：A．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．