Question

【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝，公比q＝的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足cn＝an·bn.

(1)求證：{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；

(3)若cn≤m2＋m－1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）Sn＝ (n∈N＋)（3）或

【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列即可；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)特點(diǎn)，采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解含m的不等式即可.

試題解析：(1)證明：由題意知， ，

∵， ，

∴，

∴數(shù)列是首項(xiàng)的等差數(shù)列．

(2)由(1)知， ，

∴，

∴；

于是

兩式相減得：

∴．

(3)∵，

∴當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，即，

∴當(dāng)n＝1或2時(shí)， 取得最大值是.

又對(duì)一切正整數(shù)恒成立，

∴，

即，解得或.