Question

【題目】已知拋物線，焦點為，準線為，線段的中點為.點是上在軸上方的一點，且點到的距離等于它到原點的距離.

（1）求點的坐標；

（2）過點作一條斜率為正數的直線與拋物線從左向右依次交于兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由點到的距離等于它到原點的距離，得，又為線段的中點，所以，設點的坐標為，代入拋物線的方程，解得，即可得到點坐標.

（2）設直線的方程為，代入拋物線的方程，根據根與系數的關系，求得，，進而得到，進而得到直線和的傾斜角互補，即可作出證明.

（1）根據拋物線的定義，點到的距離等于，

因為點到的距離等于它到原點的距離，所以，

從而為等腰三角形，

又為線段的中點，所以，

設點的坐標為，代入，解得，

故點的坐標為.

（2）設直線的方程為，代入，并整理得，

由直線與拋物線交于、兩點，得，

結合，解得，

由韋達定理，得，，

，

所以直線和的傾斜角互補，從而，

結合軸，得，故.