Question

（2012•株洲模擬）已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數，且f（x）在x=1處取得極大值2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）記g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函數y=g（x）的單調區間；
（3）設h（x）=x²-2bx+4，若對任意x₁∈[-2，1]，?x₂∈[1，2]使f（x₁）≥h（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數，可得b=0，利用在x=1處取得極值2，可得a=-1，c=3，從而可得y=f（x）的解析式；
（2）求導函數，分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（3）根據題意f（x）_min≥h（x）_min，分類討論，確定函數的最小值，解不等式，即可求b的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴-ax³+bx²-cx=-（ax³+bx²+cx）
∴b=0
∵在x=1處取得極值2，∴

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=2

，
∴a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x；
（2）g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，∴g′(x)=-2x+

k+1

x

=

-2x2+k+1

x

當k＜-1時，g′（x）＜0，所以在（0，+∞）遞減；
當k=-1時，g′（x）≤0，所以在（0，+∞）遞減；
當k＞-1時，在 (0，

k+1 2

)時，g′（x）＞0，g（x）遞增；在(

k+1 2

，+∞)，g′（x）＜0，g（x）遞增．
（3）根據題意f（x）_min≥h（x）_min，f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1）
所以x∈[-2，-1]遞減，x∈[-1，1]遞增，于是當x=1時，f（x）的最小值為-2
當b＞2時，f（x）_min=-2≥h（x）_min=8-4b，所以b≥

5

2

；
當1≤b≤2時，f(x)min=-2≥h(x)min=b2-2b2+4，所以b≥

6

或b≤-

6

（舍去）
當b＜1，f（x）_min=-2≥h（x）_min=h（1）=1-2b+4=5-2b，所以b≥

7

2

（舍去）
所以b∈[

5

2

，+∞)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，正確運用導數是關鍵．