Question

（2012•株洲模擬）函數y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為

3+2

2

．

Answer 1

分析：由于函數y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（-1，-1），再由點A在直線mx+ny+1=0上，可得m+n=1，根據

1

m

+

2

n

=1+

n

m

+

2m

n

+2 利用基本不等式求出
它的最小值．

解答：解：由于函數y=log_ax經過定點（1，0），故函數y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（-1，-1），
再由點A在直線mx+ny+1=0上，可得-m-n+1=0，m+n=1．
∴

1

m

+

2

n

=

m+n

m

+

2m+2n

n

=1+

n

m

+

2m

n

+2≥3+2

2

，當且僅當

n

m

= 

2m

n

，即 n=

2

m 時，等號成立．
故

1

m

+

2

n

的最小值為 3+2

2

．
故答案為 3+2

2

．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，基本不等式的應用，屬于基礎題．