Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，

從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD

（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，

射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，則

A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），P（0，0，1）．

=（﹣1， ，0）， =（0， ，﹣1）， =（﹣1，0，0），

設平面PAB的法向量為 =（x，y，z），則

即 ，

因此可取 =（ ，1， ）

設平面PBC的法向量為 =（x，y，z），則 ，

即：

可取 =（0，1， ），cos＜ ＞= =

故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣ ．

【解析】（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD= ，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據線面垂直的判定定理和性質定理，可證PA⊥BD；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，P的坐標，求出向量 ，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)．