Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x+1）+ ．
（I）討論函數f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（II）設函數f（x）存在兩個極值點，并記作x1 ， x2 ， 若f（x1）+f（x2）＞4，求正數a的取值范圍；
（III）求證：當a=1時，f（x）＞ （其中e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，（*）

當a≥2時，∵x＞0，∴ ，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；

當0＜a＜2時，由f'（x）=0，得x2+a（a﹣2）=0，解得 （負值舍去）， ，

所以當x∈（0，x2）時，x2+a（a﹣2）＜0，從而f'（x）＜0，函數f（x）在（0，x2）上是減函數；

當x∈（x2，+∞）時，x2+a（a﹣2）＞0，從而f'（x）＞0，函數f（x）在（x2，+∞）上是增函數．

綜上，當a≥2時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；

當0＜a＜2時，函數f（x）在 上是減函數，在 上是增函數

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≥2時，f'（x）＞0，函數f（x）無極值點；

要使函數f（x）存在兩個極值點，必有0＜a＜2，且極值點必為 ， ，

又由函數定義域知，x＞﹣1，則有 ，即 ，化為（a﹣1）2＞0，所以a≠1，

所以，函數f（x）存在兩個極值點時，正數a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）．

由（*）式可知， ，

f（x1）+f（x2）

=ln（1+x1）+ +ln（1+x2）+

=ln（1+x1+x2+x1x2）+

=ln[（a﹣1）2]+

=ln[（a﹣1）2]+ ﹣2；

不等式f（x1）+f（x2）＞4化為 ，

令a﹣1=t（a∈（0，1）∪（1，2）），所以t∈（﹣1，0）∪（0，1），

令 ，t∈（﹣1，0）∪（0，1）．

當t∈（﹣1，0）時， ， ，所以g（t）＜0，不合題意；

當t∈（0，1）時， ， ，

所以g（t）在（0，1）是減函數，所以 ，適合題意，即a∈（1，2）．

綜上，若f（x1）+f（x2）＞4，此時正數a的取值范圍是（1，2）．

（Ⅲ）證明：當a=1時， ，

不等式 可化為 ，所以

要證不等式 ，即證 ，即證 ，

設 ，則 ，

在（0，1）上，h'（x）＜0，h（x）是減函數；

在¨1+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函數．

所以h（x）≥h（1）=1，

設 ，則（x）是減函數，

所以（x）＜（0）=1，

所以（x）＜h（x），即 ，

所以當a=1時，不等式 成立

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出x1，x2，得到f（x1）+f（x2）的解析式，問題轉化為 ，令a﹣1=t（a∈（0，1）∪（1，2）），所以t∈（﹣1，0）∪（0，1），令 ，根據函數的單調性判斷即可；（Ⅲ）問題轉化為證明 ，即證 ，設 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．