Question

【題目】在等邊△ABC中，

（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；
（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補全；
②小茹通過觀察、實驗提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：要證明PA=PM，只需證△APM是等邊三角形；
想法2：在BA上取一點N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證△ANP≌△PCM；
想法3：將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK…
請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°，

∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°；

（2）

解：如圖2，∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵點Q關于直線AC的對稱點為M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等邊三角形，

∴AP=PM．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，根據三角形外角的性質即可得到結論；
　　　　（2）如圖2根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，由點Q關于直線AC的對稱點為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．