Question

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，底面，點分別為的中點，且異面直線和所成的角的大小為.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析（2）

【解析】

（1）由，為的中點，證得，再由線面垂直的性質，得到，利用線面垂直的判定定理，得到平面，進而證得平面平面；

（2）取的中點，連結，得到底面，且異面直線和所成的角的大小為，即，進而利用棱錐的體積公式，即可求解。

（1）證明：∵，為的中點，

∴

又平面，平面，

∴

∵

∴平面，

∵平面

∴平面平面

（2）解：：取的中點，連結

∵三角形為正三角形，底面

∴，又∵分別為的中點

∴，，

又∵異面直線和所成的角的大小為

∴

∴三角形為正三角形，

∴

又∵，∴

∴

又∵

∴三棱錐的體積.