Question

【題目】動點 與定點 的距離和它到定直線 的距離的比是 ∶ ，記點 的軌跡為 .
（1）求曲線 的方程；
（2）對于定點 ，作過點 的直線 與曲線 交于不同的兩點 ， ，求△ 的內(nèi)切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）由題意，得 ，整理得 ，

所以曲線C的方程為 .

（2）設(shè) ，又設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑為r，

易知 為橢圓 的左、右焦點，

所以 的周長為4a=8， ，

因此 面積最大，r就最大。

.

由題意知，直線l 的斜率不為零，可設(shè)直線l 的方程為 ，

由 ，得 ，

所以， ， .

又因直線l 與橢圓C 交于不同的兩點，

所以△>0，即 ，則

，

令 ，則 ，

令 ，則 .

所以函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即當(dāng) 時， 在 上單調(diào)遞增，

因此有 ，所以

即當(dāng)t=1，m=0時， 最大，此時 ，

故當(dāng)直線L的方程為x=1時， 內(nèi)切圓半徑的最大值為 .

【解析】本小題主要考查軌跡方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．