Question

【題目】在四棱柱 中，底面 為矩形，面 ⊥平面 ， = = = ， =2， 是 的中點．
（Ⅰ）求證： ⊥ ；
（Ⅱ）求BD與平面 所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵PD=PC，E為CD的中點，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC，
在Rt 中， ， ,
∴ ，
∴ , ,
∴ ，
∴BE⊥CA，
∵BE PE=E，
∴AC⊥平面PBE，
∴AC⊥PB；
（Ⅱ）以E為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，則 P（0,0,1），C（1,0,0）， D(-1,0,0)
， 則 , ,
設平面PAB的法向量為 ，則 ，取 ，則 ， ，∴ .
設 BD 與平面PAB 所成角為 ，
則
∴BD 與平面PAB 所成角的正弦值為 .

【解析】（1）證AC垂直面PBC即可得到AC垂直PB；
（2）建立空間坐標系，找到BD的方向向量、平面PAB的法向量，然后算出夾角.