Question

【題目】對于正整數，若存在1，2，…，的一個排列滿足

（），則稱為“循球數”.證明：

（1）9、11都是循環數；

（2）為循環數的一個必要不充分條件是為質數.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）易知，“1，2，4，8，3，6，7，5，9”和“1，2，4，8，7，9，5，10，3，6，11”分別是“1，2，…，9”和“1，2，…，11”的滿足循環數定義的排列.故9、11都是循環數.

（2）若不是質數，由，知存在質數和奇數，使得.

若為循環數，“”是“1，2，…，”的一個排列，滿足循環數定義，由循環性，不妨設，于是，，…，存在，使得，，，或.

顯然，每項都具有“的整數倍加或減2的整數次冪”的形式.

由和，得.

從而，.

故.

因此，為質數是為循環數的必要條件.

由是質數，易知，8不是循環數.