Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），F（﹣c，0）為其左焦點，點P（﹣ ，0），A1 ， A2分別為橢圓的左、右頂點，且|A1A2|=4，|PA1|= |A1F|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A1作兩條射線分別與橢圓交于M、N兩點（均異于點A1），且A1M⊥A1N，證明：直線MN恒過x軸上的一個定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|A1A2|=4，∴a=2，

又∵|PA1|= |A1F|，∴ ，

整理得 ，∴c= ，

則b2=a2﹣c2=1．

∴橢圓C的方程為 ；

（2）證明：由已知直線MN與y軸不垂直，假設其過定點T（n，0），設其方程為x=my+n，

聯立 ，得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0．

設M（x1，y1），N（x2，y2），則 ， ．

∴x1+x2=m（y1+y2）+2n， ．

∵A1M⊥A1N，∴ ．

∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，

∴ ．

即 ．

化簡得：（n+2）（5n+6）=0，

若n=﹣2，則T與A重合，不合題意，

∴n+2≠0，

整理得n=﹣ ．

綜上，直線MN過定點T（ ）．

【解析】（1）由已知列出關于a、c的方程組，求解可得其值，再由隱含條件求出b，進而求出橢圓方程。（2）根據已知直線與y軸不垂直，假設其過定點T，設出其所在方程并和橢圓方程聯立，利用韋達定理結合垂直關系即可求得。