Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．
（1）若函數h（x）=f（x）﹣g（x）在[﹣2，0]上有兩個零點，求實數a的取值范圍；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤0與g（x0）≤0同時成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2ax+3a+3=0在[﹣2，0]上有兩個不同的實數解，

所以 ，

即 ，

解得 ，

（2）

解：由已知， ，

（1）+（2）得 ，得a≥3，

再由（2）得x0≤2，由（1）得 ，得x0＞1，

于是，問題等價于：a≥3，且存在x0∈（1，2]滿足 ，

令t=x0﹣1∈（0，1]， ，

因為 在（0，1]上單調遞減，

所以φ（t）≥φ（1）=7，即a≥7，

故實數a的最小值為7．

【解析】（1）由h（x）在區間內的兩個零點，結合圖形，得到需要滿足的條件．（2）由f（x0）≤0與g（x0）≤0同時成立，得到得a≥3，可將問題轉化為最值問題，由單調性得到最值，即可．