Question

【題目】已知F1，F2為橢圓C：的左、右焦點，橢圓C過點M，且MF2⊥F1F2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經過點P（2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點，若存在點Q（m，0），使得|QA|＝|QB|.

①求實數m的取值范圍：

②若線段F1A的垂直平分線過點Q，求實數m的值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）①m∈[0，）②

【解析】

（1）由橢圓過M點，及且MF2⊥F1F2，可得c＝1，求得a，b的值，求出橢圓的方程；

（2）①設直線AB的方程與橢圓聯立，求出兩根之和，可得AB的中點N的坐標，由|QA|＝|QB|.可得直線AB⊥QN，可得斜率之積為﹣1，可得m的表達式m，進而可得m的范圍；

②由題意|QF1|＝|QA|＝QB|，在以為原心，為半徑的圓上，再與橢圓方程聯立，由根與系數的關系列式化簡，求出m的值.

解：（1）因為橢圓過M（1，），MF2⊥F1F2，

所以解得：a2＝2，b2＝1，所以橢圓的方程為：y2＝1；

（2）設直線的方程為：y＝k（x﹣2），

代入橢圓的方程，整理可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，

因為直線l與橢圓C由兩個交點，所以＝64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，

解得2k2＜1；

設A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2，x1x2，

①設AB中點為M（x0，y0），

則有x0，y0＝k（x0﹣2），

當k≠0時，因為|QA|＝|QB|，∴QM⊥l，

∴kQMkk＝﹣1，解得m，

∴m1∈（0，），

當k＝0，可得m＝0，

綜上所述：m∈[0，）.

②由題意|QF1|＝|QA|＝QB|，且F1（﹣1，0），

由，整理可得：x2﹣4mx﹣4m＝0，

所以x1，x2也是此方程的兩個根，所以x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4m，

所以，解得k2，所以m.

所以m的值為.