Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρsinθ＝2．

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；

（2）曲線C2上兩點與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）．（2）．

【解析】

（1）設(shè)出的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為;

（2）利用（1）中的結(jié)論，設(shè)出點的極坐標，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.

解：（1）設(shè)P的極坐標為（ρ，θ）（ρ＞0），M的極坐標為（ρ0，θ）（ρ0＞0）．

由題設(shè)知|PO|＝ρ，．

由4，

得，

所以C2的極坐標方程ρ＝2sinθ（ρ＞0），

因此C2的直角坐標方程為x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）．

（2）依題意：，|OB|＝ρ2＝2sinα．

于是△OAB面積：S．

當時，S取得最大值．

所以△OAB面積的最大值為．