Question

【題目】已知.

（1）若,求方程的解；

（2）若關于x的方程在（0,2）上有兩個解，求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）k的取值范圍為，證明見解析。

【解析】

（1）當k=2時，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，下面分兩種情況討論：①當x2﹣1≥0，②當x2﹣1＜0，分別解出方程f（x）=0的解即可；

（2）不妨設0＜x1＜x2＜2，因為，所以f（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，結(jié)合根的范圍求出當時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解，下面求的取值范圍，先得出則關于k的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求其范圍.

（1）當k=2時，，

①當，即x≥1或x≤-1時，

方程化為，解得，

因為，舍去，所以；

②當，即-1＜x＜1時，方程化為2x+1=0，解得：；

由①②得，當k=2時，方程f(x)=0的解為或。

（2）不妨設，

因為，

所以f(x)在（0，1］是單調(diào)函數(shù)，故f(x)=0在（0，1］上至多一個解，

若，則＜0，故不符題意，

因此；

由，得，所以k≤-1；

由，得，所以；

故當時，方程f(x)=0在(0，2)上有兩個解；

因為，所以，，

消去k，得，

即，

因為x2＜2，

所以。