Question

【題目】已知函數 ．
（1）若 ，討論函數 的單調性；
（2）曲線 與直線 交于 ， 兩點，其中 ，若直線 斜率為 ，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

， ，當a≥0時，恒有 ， 在區間 內是增函數；

當a<0時，令 ，即 ，解得 ，令 即 ，解得 ，綜上，當a≥0時， 在區間 內是增函數；

當a<0時， 在 內是增函數，在 內是減函數.

（2）

證明： ，要證明 ，

即證 ，等價于 ，令 （由 ，知t>1）,

則只需證 ，由t>1，知 ，故等價于 （*）

①令 ，則 ，所以 在 內是增函數，當t>1時， ，所以 ；

②令 則 ，所以 在 內是增函數，當t>1時， ，即 .

由①②知（*）成立，所以 .

【解析】本題考查利用導數求函數的單調性、極值、最值，函數與方程、不等式等基礎知識，意在考查綜合分析問題、解決問題的能力和基本運算能力．