Question

【題目】某校后勤處為跟蹤調查該校餐廳的當月的服務質量，兌現獎懲，從就餐的學生中隨機抽出100位學生對餐廳服務質量打分（5分制），得到如圖柱狀圖．
（Ⅰ）從樣本中任意選取2名學生，求恰好有1名學生的打分不低于4分的概率；
（Ⅱ）若以這100人打分的頻率作為概率，在該校隨機選取2名學生進行打分（學生打分之間相互獨立）記X表示兩人打分之和，求X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）根據（Ⅱ）的計算結果，后勤處對餐廳服務質量情況定為三個等級，并制定了對餐廳相應的獎懲方案，如表所示，設當月獎金為Y（單位：元），求E（Y）．

服務質量評分X	X≤5	6≤X≤8	X≥9
等級	不好	較好	優良
獎懲標準（元）	﹣1000	2000	3000

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設“從樣本中任意選取2名學生，求恰好有一名學生的打分不低于4分”為事件A， 則P（A）= = ≈0.51；
（Ⅱ）X的可能取值為4，5，6，7，8，9，10；
則P（X=4）=0.2×0.2=0.04，
P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，
P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=10）=0.2×0.2=0.04；
X的分布列如下：

X	4	5	6	7	8	9	10
P	0.04	0.12	0.21	0.26	0.21	0.12	0.04

X的數學期望為E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；
（Ⅲ）Y的分布列為

Y	﹣1000	2000	3000
P	0.16	0.68	0.16

Y的數學期望為E（Y）=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680
【解析】（Ⅰ）計算“從樣本中任意選取2名學生，恰好有一名學生的打分不低于4分”的概率值；（Ⅱ）由X的可能取值，計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望；（Ⅲ）根據表格寫出Y的分布列，計算對應的數學期望值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．