Question

【題目】已知數列{an}中，已知a1=1， ，
（1）求證數列{ }是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）若對一切n∈N* ， 等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立，求數列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，

得an+1+2anan+1=an，

即an﹣an+1=2anan+1

兩邊同除以anan+1，得， ，

又 ，

所以數列{ }是首項為1，公差為2的等差數列

（2）解：由（1） ，

所以數列{an}的通項公式

（3）解：因為對一切n∈N*，

有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n①

所以當n≥2時，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=2n﹣1②

①﹣②得，當n≥2時，

anbn=2n﹣1，

又 ，

所以bn=（2n﹣1）2n﹣1

又n=1時，a1b1=21，a1=1，

所以b1=2；

綜上得

【解析】（1）由 ，得an﹣an+1=2anan+1 ， 兩邊同除以anan+1得， ，由此能夠證明數列{ }是等差數列．（2）由 ，知 ．（3）因為對一切n∈N* ， 有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n ， 當n≥2時，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=2n﹣1 ， 當n≥2時，anbn=2n﹣1 ， 又 ，所以bn=（2n﹣1）2n﹣1 ， 由此能夠求出數列{bn}的通項公式．
【考點精析】關于本題考查的等差關系的確定和數列的前n項和，需要了解如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．