Question

【題目】已知圓F1:(x+1)2+y2=16,定點F2(1,0),A是圓F1上的一動點,線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點.

(1)求P點的軌跡C的方程；

(2)四邊形EFGH的四個頂點都在曲線C上,且對角線EG,FH過原點O,

若kEGkFH=-,求證：四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（I）利用橢圓的定義，即可求 點的軌跡 的方程；（II）不妨設點 位于 軸的上方，在直線 的斜率存在，設的方程為 ，與橢圓方程聯立，利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式求四邊形出面積用 表示，化簡消去即可證明結論.

試題解析：（Ⅰ）因為在線段的中垂線上,所以.

所以,

所以軌跡是以為焦點的橢圓,且,所以,

故軌跡的方程.

（Ⅱ）證明：不妨設點E、H位于x軸的上方,則直線EH的斜率存在,設EH的方程為, .

聯立,得,

則. ①

由,

得. ②

由①、②,得. ③

設原點到直線EH的距離為,

,

④

由③、④,得,故四邊形EFGH的面積為定值,且定值為.