Question

【題目】如圖，在三棱柱中，邊長為的正方形，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）證明：在線段上存在點，使得，并求的值。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2） （3）證明見解析;

【解析】

（1）根據所給線段長度,由勾股定理逆定理可得,結合正方形中的垂直關系,利用線面垂直的判定定理即可判斷平面.

（2）以為原點建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,求得平面與平面的法向量,根據向量的數量積運算即可求得向量夾角的余弦值.

（3）假設在線段上存在點,設出點的坐標,根據垂直時的向量坐標運算求得點的坐標,即可證明存在點;根據相似,即可求得的值.

（1）因為邊長為的正方形, ,,

則,即

又正方形中,且

所以平面

（2）以為原點,以所在直線為軸, 以所在直線為軸, 以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系

則,,,

所以,,

設平面的法向量為,平面的法向量為,

則代入可得,令則解得

所以

同理代入可得,令則解得

所以

則

由圖可知, 平面與平面形成的二面角為銳二面角

所以二面角的余弦值為

（3）證明:假設在線段上存在點，使得,過作,作,如下圖所示:

設,則由,即,所以

則,由,即,所以

所以

所以,

因為

所以

即,化簡可得

解得

即在線段上存在點，使得

則