Question

設，函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若無零點，求實數的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點、，求證：.

Answer 1

（1）切線方程為；（2）實數的取值范圍是；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導函數的幾何意義，結合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數的導數，對的符號進行分類討論，結合零點存在定理判斷函數在定義域上是否有零點，從而求出參數的取值范圍；另外一中方法是將問題等價轉化為“直線與曲線無公共點”，結合導數研究函數的基本性質，然后利用圖象即可確定實數的取值范圍；（3）從所證的不等式出發，利用分析法最終將問題等價轉換為證明不等式在區間上恒成立，并構造新函數，利用導數結合函數的單調性與最值來進行證明.
試題解析：在區間上，，
（1）當時，，則切線方程為，即；
（2）①當時，有唯一零點；
②當時，則，是區間上的增函數，
，，
，即函數在區間有唯一零點；
③當時，令得，
在區間上，，函數是增函數，
在區間上，，函數是減函數，
故在區間上，的極大值為，
由，即，解得，故所求實數的取值范圍是；
另解：無零點方程在上無實根直線與曲線無公共點，
令，則，令，解得，列表如下：

	增	極大值	減

故函數在處取得極大值，亦即最大值，即，
由于直線與曲線無公共點，故，故所求實數的取值范圍是；
（3）設，由，，可得，，
，，
原不等式，
令，于是，
設函數，求導得，
故函數是上的增函數，，即不等式成立，
故所證不等式成立.