Question

已知函數 
（1）求的單調區間和極值；
（2）當m為何值時，不等式 恒成立？
（3）證明：當時，方程內有唯一實根．
（e為自然對數的底；參考公式：．）

Answer 1

（1）內是減函數，在（1－m，+∞）內是增函數，當等于1－m時，函數有極小值1－m．（2）m≤1．（3） 詳見解析.

試題分析：（1）求導即得.（2）要不等式 恒成立，只需的最小值≥0即可.（3） 要證明方程內有唯一實根，需要證明以下兩點：第一、在上是單調函數，第二、.
試題解析：（1）．
∵         2分
∴內是減函數，在（1－m，+∞）內是增函數，當等于1－m時，函數有極小值1－m．                          4分
（2）由（1）知，在定義域內只有一個極值點，所以的最小值就是1－m，從而當1－m≥0時，不等式≥0恒成立                6分
故所求的實數m的取值范圍是m≤1．                     8分
（3）∵m>1，．                 9分
又               10分
∵

∴．                           12分
根據第1小問的結論，在（1－m，+∞）內是增函數,因此，方程在區間內有唯一的實根              13分