Question

【題目】已知a為實數，函數f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在區間（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[1，8]
【解析】解：解：令函數g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判別式△=a2+8＞0，故函數g（x）一定有兩個零點，
設為 x1 和x2 ， 且 x1＜x2 ．
∵函數f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|= ，
故當x∈（﹣∞，x1）、（x2 ， +∞）時，
函數f（x）的圖象是位于同一條直線上的兩條射線，
當x∈（x1 ， x2 ）時，函數f（x）的圖象是拋物線y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段連在一起．
由于f（x）在區間（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上單調遞增，
∴a＞0且函數g（x）較小的零點x1= ≥﹣1，
即a+2≥ ，
平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，
同時由y=2x2﹣ax﹣2的對稱軸為 x= = ，
若且﹣1≤ ≤2，可得﹣4≤a≤8．
綜上可得，1≤a≤8，
故實a的取值范圍為[1，8]，
故答案為：[1，8]

根據絕對值的應用，將函數進行轉化，結合一元二次不等式與一元二次函數之間的關系，結合函數的單調性的性質進行討論判斷．