Question

【題目】已知拋物線過點，其焦點為，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）設為軸上異于原點的任意一點，過點作不經過原點的兩條直線分別與拋物線和圓相切，切點分別為，求證：三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由于,再結合拋物線過點，求解即可；

（2）設，直線與拋物線相切，與拋物線聯立得到，即，由點關于直線對稱，得到，證明，即得證.

解：（1）拋物線的準線方程為，

∴.

又拋物線過點，

∴，即，

∴，∴，

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設，已知切線不為軸.設，聯立消去，可得.

∵直線與拋物線相切，

∴，即，

代入得，∴，即.

設切點，則點關于直線對稱，

則解得即.

當時，直線的斜率，

直線的斜率，∴，即三點共線.

當時，，此時三點共線.

綜上：三點共線.