Question

【題目】已知函數與的圖象在點處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數與的圖象有兩個交點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設函數，，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析: (1)求出 的導數，由題意可得 ，求出，得到，設，求出導數，單調區間和最值，由題意可得只要最大值大于0，即可得到所求 的范圍； (2)求出 的解析式，求得導數，令 ，求得導數，判斷，即有在 遞增，運用分析法證明，要證，即證，即，變形為．令，即證，設，求出導數，判斷單調性，即可得證．

試題解析：

（Ⅰ）因為，，根據題意，得解得

所以．　

設，則，

當時，，當時，，

所以，

又因為→時，→；當→時，→，

故欲使兩圖象有兩個交點，只需，，

所以實數的取值范圍為.

（Ⅱ）由，，得．

設，則，當時，，單調遞增，

所以，所以，所以．

要證，只需證，即，

變形得，等價于，等價于，

令()，則只需證，設，則，

所以，

所以對恒成立，即．