Question

【題目】已知定義域為R的函數是奇函數.

（1）求實數a的值；

（2）判斷該函數在定義域R上的單調性（不要求寫證明過程）.

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；

（4）設關于x的函數有零點，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）減函數；（3）；（4）

【解析】

（1）利用可構造方程求得結果；

（2）通過分離常數的方法可判斷出函數的單調性；

（3）利用奇偶性將不等式變為，利用單調性得到自變量的大小關系，利用分離變量的方式將問題轉化為，通過求解二次函數的最小值求得結果；

（4）利用奇偶性將問題轉化為方程有根，根據單調性得到方程有根，進而得到；根據二次函數型的復合函數的值域求解方法可求得，從而求得結果.

（1）為定義在上的奇函數 ，解得：

（2）由（1）知：

為上的增函數 為上的減函數

為上的減函數

（3）由得：

由（2）知：為上的減函數 ，即

，即的取值范圍為

（4）有零點等價于方程有根

即方程有根

為上的減函數 ，即

當時，取得最小值，最小值為

若有根，則

即當時，函數有零點