Question

【題目】平面直角坐標系中，動圓與圓外切，且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設過定點（為非零常數）的動直線與曲線交于兩點，問：在曲線上是否存在點（與兩點相異），當直線的斜率存在時，直線的斜率之和為定值.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件運用兩圓位置關系建立方程求解；（2）依據題設條件借助直線的斜率公式及直線與拋物線的位置關系進行分析求解：

（1）不妨設動圓的圓心為，

易知圓的圓心為，半徑為，

∵動圓與圓外切，且與直線相切，

∴圓心在直線的右側，且點到點的距離比點到直線的距離大，

即，且，

∴，兩邊平方并化簡整理得，

即曲線的軌跡方程為．

（2）假設在曲線上存在點滿足題設條件，不妨設，

則，

∴（*）

顯然動直線的斜率非零，故可設其方程為，

聯立，整理得，

∴，且，

代入（*）式得，

顯然，于是（**），

欲使（**）式對任意成立，∴，

顯然，否則由可知，

從而可得，這與為非零常數矛盾，

∴，

∴，∴，

于是，當時，不存在滿足條件的，即不存在滿足題設條件的點；

當時， ，

將此代入拋物線的方程可求得滿足條件的點坐標為或．

下面說明此時直線的斜率必定存在，

∵，∴，∴，

顯然，∴，且，∴直線的斜率必定存在，

綜上所述，存在點（與兩點相異），其坐標為，或，使得直線的斜率之和為定值．