Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+ax2+1，（a∈R）．
（1）若f（x）圖象上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處存在垂直于y軸的切線，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象于函數(shù)f（x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，試求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，f′（1）=0

∵f′（x）=﹣3x2+2ax

﹣3（1）2+2a1=0，

∴a=

（2）解：若f（x）在區(qū)間（﹣1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

則方程f′（x）=﹣3x2+2ax=0在區(qū)間（﹣1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，

∴△＞0，f′（﹣1）＜0，f′（2）＜0，﹣1＜ ＜2，

解得：﹣ ＜a＜3且a≠0

但a=0時(shí)，f（x）=﹣x3+1無(wú)極值點(diǎn)，

∴a的取值范圍為（﹣ ，0）∪（0，3）

（3）解：a=1時(shí)，f（x）=﹣x3+x2+1，

要使函數(shù)f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，

等價(jià)于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1，

即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根．

∵x=0是一個(gè)根，

∴應(yīng)使方程x2﹣4x+1﹣m=0有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，

由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1，

∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），

使用函數(shù)f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由f′（1）=0求解a．（2）將“f（x）在區(qū)間（﹣1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程f′（x）=0在區(qū)間（﹣1，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根”，用△＞0求解．（3）a=1，“要使函數(shù)f（x）與g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)”即為“方程x2（x2﹣4x+1m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根”．因?yàn)閤=0是一個(gè)根，所以方程x2﹣4x+1﹣m=0應(yīng)有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，再用判別式求解．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．