Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若對于任意x∈R，都有f（x﹣2）≤f（x），則實數a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ， ]
B.[﹣ ， ]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ， ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵當x≥0時，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2 ．
∴當0＜x≤a2時，f（x）=a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2=﹣2x；
當a2＜x≤2a2時，f（x）=x﹣a2+2a2﹣x﹣3a2=﹣2a2；
當x＞2a2時，f（x）=x﹣a2+x﹣2a2﹣3a2=2x﹣6a2 ．
畫出其圖象如下：

由于函數f（x）是定義在R上的奇函數，即可畫出x＜0時的圖象，與x＞0時的圖象關于原點對稱．
∵x∈R，f（x+2）≥f（x），f（x﹣2）≤f（x），
∴6a2≤2，
解得a∈[﹣ ， ]．
故選：D．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．