Question

已知函數 f（x）在區間（a，b）內單調，且f（a）f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間（a，b）內

1. A.
   至少有一實根
2. B.
   至多有一實根
3. C.
   必有唯一實根
4. D.
   沒有實根

Answer 1

B
分析：由函數的單調性，我們易得函數的圖象與直線y=a至多有一個交點，若函數 f（x）在區間[a，b]內單調，再根據零點存在定理，我們易得到函數f（x）在區間[a，b]上有且只有一個零點，再根據函數零點與對應方程根的個數關系，我們即可得到結論，而函數 f（x）在區間[a，b]的兩個端點處不一定連續，也可能沒有零點．
解答：∵f（a）f（b）＜0
∴函數在區間[a，b]上至少有一個零點
若函數f（x）在區間[a，b]上單調
∴函數f（x）在區間[a，b]上至多有一個零點
故函數f（x）在區間[a，b]上有且只有一個零點
即方程f（x）=0在區間[a，b]內必有唯一的實根
若函數 f（x）在區間[a，b]的兩個端點處不連續，也可能沒有零點．
故選B．
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中利用函數零點個數與對應方程根的個數相等，將問題轉化一個求函數零點個數問題是解答本題的關鍵．