Question

已知函數f（x）=

x2

2

-(1+2a)x+

4a+1

2

ln(2x+1)，a＞0．
（Ⅰ）已知函數f（x）在x=2取得極小值，求a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a＞

1

4

時，若存在x₀∈（

1

2

，+∞），使得f（x₀）＜

1

2

-2a2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導，利用函數f（x）在x=2取得極小值，則f'（x）=0，解a．
（Ⅱ）解導數不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判斷函數的單調區間．
（Ⅲ）將不等式轉化為最值恒成立問題，利用導數求函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為(-

1

2

，+∞)，且f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

，…（1分）
因為函數f（x）在x=2取得極小值，所以f'（2）=0，
即f'（2）=2-（1+2a）+

4a+1

4+1

=0，．…（2分）
解得a=1．…（3分）
經檢驗：a=1時，函數f（x）在x=2取得極小值，所以a=1．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=x-（1+2a）+

4a+1

2x+1

=

(2x+1)(x-1-2)+4a+1

2x+1

=

(2x-1)(x-2a)

2x+1

令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=2a…（6分）
i、當2a＞

1

2

，即a＞

1

4

時，

x	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增區間為（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），減區間為（

1

2

，2a）…（7分）
ii、當2a=

1

2

，即a=

1

4

時，f'（x）=

(2x-1)2

2x+1

≥0在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增區間為（-

1

2

，+∞）                     …（8分）
iii、當0＜2a＜

1

2

，即0＜a＜

1

4

時，

x	（- 1 2 ，2a）	2a	（2a， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以f（x）的增區間為（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），減區間為（2a，

1

2

）…（9分）
綜上所述：
0＜a＜

1

4

時，f（x）的增區間為（-

1

2

，2a）和（

1

2

，+∞），減區間為（2a，

1

2

）a=

1

4

時，f（x）的增區間為（-

1

2

，+∞）a＞

1

4

時，f（x）的增區間為（-

1

2

，

1

2

）和（2a，+∞），減區間為（

1

2

，2a）
（Ⅲ）由題意，a＞

1

4

時，存在x₀∈（

1

2

，+∞），f（x₀）＜

1

2

-2a2，即a＞

1

4

時，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值小于

1

2

-2a2．…（10分）
由（Ⅱ）a＞

1

4

時，f（x）在（

1

2

，2a）上遞減，在（2a，+∞）上遞增，f（x）在（

1

2

，+∞）上的最小值為f（2a），…（11分）
所以f（2a）＜

1

2

-2a2，
即2a2-2a(1+2a)+

4a+1

2

ln(4a+1)＜

1

2

-2a2…（12分）
化簡得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，a＜

e-1

4

，
又a＞

1

4

，所以

1

4

＜a＜

e-1

4

，所求實數a的取值范圍為(

1

4

，

e-1

4

)．…（13分）

點評：本題考查導數的基本運算以及利用導數研究函數的極值與最值問題，對應含有參數的不等式恒成立問題，往往轉化為最值恒成立．實質是求函數的最大值或最小值．