Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓C1： 的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點P為C1與C2在第一象限的交點，且 ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于M、N兩點，若線段OF2上存在定點T（t，0）使得以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為（1，0）， ，∴ ，

∴ ，∴ ，

又F2（1，0），∴F1（﹣1，0），

∴ ，∴a=2，

又∵c=1，∴b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓方程是： ．

（Ⅱ）設MN中點為D（x0，y0），∵以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，

∴TD⊥MN，

設直線MN的方程為x=my+1，

聯立 ，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

∵F2在橢圓內，∴△＞0恒成立，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴kTDkMN=﹣1，即 ，

整理得 ，

∵m2＞0，∴3m2+4∈（4，+∞），∴ ，

∴t的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）根據題意由已知可列出方程組求出a、b的值，因此能求出橢圓的方程。（Ⅱ）設出中點的坐標根據題意的垂直關系可設出直線的方程再聯立橢圓的方程消去x得到關于y的一元二次函數，利用韋達定理、根的判別式、兩直線的垂直的關系再結合已知條件即可求出t的取值范圍。