Question

【題目】已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若滿足g（x）=﹣1的x有四個，則t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（e+ ,+∞）
【解析】解：f（x）= ，

當x≥0時，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，

當x＜0時，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex，

∴當x＜﹣1時，f′（x）＞0，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數，在（﹣1，0）上是減函數．

當x=﹣1時，f（x）取得極大值f（﹣1）= ．

令f（x）=λ，

又f（x）≥0，f（0）=0，

則當λ＜0時，方程f（x）=λ無解；

當λ=0或λ＞ 時，方程f（x）=λ有一解；

當λ= 時，方程f（x）=λ有兩解；

當0＜λ＜ 時，方程f（x）=λ有三解．

∵g（x）=f2（x）﹣tf（x）=﹣1有四個不同的實數解，

∴關于λ的方程λ2﹣tλ+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，

∴ ，解得t ．

所以答案是（e+ ，+∞）．