Question

【題目】如圖，直角梯形地塊ABCE，AF、EC是兩條道路，其中AF是以A為頂點、AE所在直線為對稱軸的拋物線的一部分，EC是線段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．計劃在兩條道路之間修建一個公園， 公園形狀為直角梯形QPRE（其中線段EQ和RP為兩條底邊）．記QP=x（km），公園面積為S（km2）．
（Ⅰ）以A為坐標原點，AE所在直線為x軸建立平面直角坐標系，求AF所在拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求面積S（km2）關于x（km）的函數解析式；
（Ⅲ）求面積S（km2）的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設拋物線y2=2px ∵點F（4，2）在拋物線上，∴22=2p×4，∴2p=1，∴y2=x
（Ⅱ）設P（x2 ， x） 則QE=AE﹣AQ=4﹣x2
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4﹣x2+x （0＜x＜2）
（Ⅲ）S'（x）=﹣3x2+x+4令S'（x）=0則x=﹣1（舍去）或
當 時，S'＞0，∴S（x）遞增；當 時，S'＜0，∴S（x）遞減；
∴當 km時， km2

【解析】（Ⅰ）設拋物線y2=2px，根據點F（4，2）在拋物線上，可求AF所在拋物線的標準方程；（Ⅱ）公園形狀為直角梯形QPRE，所以利用面積公式可求，應注意x的取值范圍；（Ⅲ）先求導函數，令導數為0，得 ，利用函數在（0，2）上是單峰函數，可求函數的最值．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．