Question

【題目】已知點，點為曲線上的動點，過作軸的垂線，垂足為，滿足。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線交于兩不同點,（ 非原點），過,兩點分別作曲線的切線，兩切線的交點為。設線段的中點為，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）k=

【解析】

（1）將坐標化，化簡求得結果.

（2）設直線的方程為： ，與拋物線方程聯立得，由韋達定理求得中點N的坐標，由導數的幾何意義可求得過點的切線方程，聯立求得交點的坐標，得到,所以MN中點縱坐標為1，即2，進而求得k.

（1）由得：

化簡得曲線的方程為.

（2）由題意可知直線l的斜率存在，

設直線的方程為：，聯立得：

設，，則，

設，則，

又曲線的方程為，即y=,=，

∴過點的切線斜率為，切線方程為y-，即y=

同理，過點的切線方程為y=，

聯立兩切線可得交點的坐標為，

所以,又因為，所以MN中點縱坐標為1，即2

,k=,故直線的斜率為k=